Numeri fracti по-русски
“
«Несть сё дивно, что в целых, а то похвально, что в долях...»
Древнерусские дроби
Учение о числах
На русской земле первым математиком, изложившим деление целого на части, стал новгородский монах Кирик. В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В своем труде он привел в том числе и деление часа на части: пятые, двадцать пятые и так далее доли. Деление целого на части применялось при расчете размера налога в XV-XVII веках. Использовались операции сложения, вычитания, деления и умножения с дробными частями
Система древнерусских дробей.
Само слово «дробь» появилось на Руси в VIII веке. Оно произошло от глагола «дробить, разделять на части».Для названия дробей наши предки использовали специальные слова.
В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх.Половина какого-либо количества обозначается словом «пол».
Одна треть числа — словом «треть».
Одна четверть — словом «четь» или «четверть».
Одна шестая — «пол-трети».
Одна восьмая — «пол-чети» или «пол-четверти».
Одна двенадцатая — «пол-пол-трети».
Одна шестнадцатая— «пол-пол-чети».
Одна двадцать четвёртая — «пол-пол-пол-трети».
Одна тридцать вторая — «пол-пол-пол-чети» и т. д.
Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д. Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Если как следует уяснить себе различие между этими понятиями, то система древнерусских мер поверхности не представит трудностей для понимания. Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Неизбежность перехода к цифирному представлению дробей
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI в., затем в страну начала постепенно проникать десятичная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.В допетровские времена русские пользовались старинным способом счета, который известен нам ныне под словом «цифирь».Фактически, цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
Подобные цифири системы счисления не были чем-то редким и исключительным до массового распространения арабских цифр, к таким методам подсчета прибегали в разные времена разные народы. Например, алфавитной системой счисления очень долгое время пользовались тибетцы и, отдавая дань традиции, они периодически и по сей день используют такой способ записи цифр для обозначения книжных страниц.
Некоторые моменты в использовании цифири просты и доступны для восприятия: аз – это единица, веди – два и т.д. Во избежание возможной путаницы такие цифры сверху сопровождались дополнительным волнообразным символом – титлом, который отличал их от обычных букв текста. Цифры большего номинала имели другие, специальные символические изображения в виде дополнительных точек и черточек.
Сложности в освоении цифири, впрочем, начинались очень скоро, уже с первых двузначных чисел. Буквенное кириллическое обозначение 10 – i. Особенность написания цифр от 11 до 19 заключалась в том, что их надо было читать справа налево. Соответственно число 11, правильно записанное цифирью, выглядело бы как аi (1 + 10, грубо говоря). Навеки пропав из математики, эта особенность старорусского счета накрепко засела в языке. Вдумайтесь: один-на-дцать. Сначала в слове фигурирует не порядковое обозначение десятка, а цифра, следующая второй. Проблемы возникали при работе с дробными значениями и неудобство выполнения сложных алгебраических операций – умножение и деление. Также не было 0, который играл большую роль в развитии точных наук. Именно поэтому в восемнадцатом веке, при Петре I, начали использовать систему, которая использует числа от 0 до 9 – десятичную. Используем мы её и сейчас.Очевидные преимущества десятичной системы счисления в сравнении с алфавитными системами содействовали ее повсеместному распространению.
Особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике
В древнерусских источниках правильные дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).А как же в древнерусских источниках выражали смешанные дроби?
Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2 = полчетверты; 4,1/2 = полпяты; 5,1/2 = полшесты; 6,1/2 = полсемы; 7,1/2, = полосьмы; 8,1/3 = полдевяты; 10,1/2 = полдесяти и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2,1/2) и пол-трети (1/6); полчетверты (3,1/2) и пол-четверти (1/8).
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Оперируя системой дробей при рассмотрении земельных площадей, надо опять-таки учитывать разницу между четвертью, как единицей измерения поверхности, и четвертью как дробью = 1/4.
Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.
4 четверти без третника пашни = 4 — 1/3 четверти пашни = 3,2/3 четверти пашни.
При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним»
Сошная арифметика
Сошная арифметика
( исторические и экономические причины её возникновения)
( исторические и экономические причины её возникновения)
Сошная арифметика возникла во второй половине XVI в. в результате введения единой окладной ПОЗЕМЕЛЬНОЙ ЕДИНИЦЫ— так называемой БОЛЬШОЙ СОХИ. Это нововведение должно было способствовать унификации налоговой системы. Новшество имело математический аспект, состоявший в вычислении коэффициентов, по которым с учетом качества земли и сословного положения владельцев устанавливалась условная мера — соха. В соответствии с этим следовало решить две задачи: 1) разработать арифметическую систему действия с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд, 2) «привязать» эту арифметическую систему к инструменту, посредством которого можно было более рационально выполнять необходимые подсчеты. «СОШНАЯ» арифметика со специфическими «сошными» дробями была разработана.
Измерением земель, их переводом в сохи и вычислением налогов занималось множество специальных чиновников, для которых составлено было особое руководство «Книга сошному письму». Сохи делились на части по двоичным дробям, а также, исходя из трети, по дробям этого вида. Другие части сохи представляли суммами или разностями этих основных дробей. Однако к концу XVII в. сошное письмо вышло из употребления, так как поземельный налог был заменен подворным, а затем подушным.
Особенности сошной арифметики.
В состав древнерусской арифметики входила сошная арифметика. 1)Сошная арифметика ориентировалась не на точность, а на приближенность результатов. Это подтвердил недавними исследованиями израильский ученый М.А. Цайгер, который отметил, что в сошной арифметике результаты имели точность до 1/48: “Если же в итоге получались более мелкие дроби, то их попросту отбрасывали, полагая, что их учет не повлияет по существу на результат”.2) из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2.
3) сложение и вычитание дробей производилось без приведения их к общему знаменателю.
4)В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. Для удобства вычислений приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.д.
Дощатый счёт
Инструменты сошной арифметики.
С XVI века в России большой популярностью пользовался дощатый счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России 15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Устройство дощатого счёта.
Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости. В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.). Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке.Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, например «четь да полтрети, да полполчети» (1/4 + 1/6 + 1/16). Иногда операции с дробями производились как с целыми при помощи приравнивания целого (сохи) к определённой сумме денег. Например, при равенстве соха = 48 денежным единицам приведённая выше дробь составит 12 + 8 + 3 = 23 денежные единицы.
В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы. Для удобства вычислителей приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.п.
Но из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2. Для действий с дробями других рядов "дощатый счет" приспособлен не был. При оперировании с ними нужно было обращаться к специальным таблицам, в которых приводились итоги разного сочетания дробейв.
Модель
Дощатый счёт
Данная модель изготовлена из подручных материалов и создана на основе модели государственного исторического музея Москвы
Эволюция дощатого счёта.
Они прошли длительный путь эволюции, в котором можно выделить четыре стадии.
Первая стадия предваряет их возникновение-это счет с помощью косточек, очень близкий к западноевропейскому счету на линиях.
Вторая стадия— «дощатый счет». Она начинается в конце 16 века и завершается в начале 18 века. На этой стадии изобретаются русские счеты, по форме сильно отличающиеся от современных.
Счеты с четырьмя полями (середина 17 века)
Они имели сначала четыре, а затем два счетных поля и были универсальным счетным прибором. Десятичная позиционная система счисления еще только начинала распространяться в России, и практически все вычисления производились на счетах.
Третья стадия охватывает 18-ый и начало 19-го века. В начале этой стадии счеты приобретают свою классическую форму и в дальнейшем совершенствуются только внешне, с точки зрения удобства пользования. Однако на этой стадии счеты уже не являются универсальным счетным прибором, они превращаются во вспомогательный прибор, а ведущее место занимают вычисления на бумаге.
Четвертая стадия развития русских счетов охватывает начало 19 — начало 20 века. Растущая потребность в механизации вычислений породила многочисленные попытки модернизировать счеты и снова придать им характер универсального счетного прибора. Однако эта идея была в принципе несостоятельной: счеты как сугубо ручной прибор не могли конкурировать при выполнении умножения и деления с развитыми конструкциями механических арифмометров. Русские счеты, приобретя свою классическую форму, вплоть до 70-х годов 20 века оставались наиболее массовым вспомогательным вычислительным прибором. Начиная с 70-х годов с ними успешно конкурируют карманные электронные калькуляторы, хотя счеты распространены и в наше время.
современные счёты
Отличие дощатого счёта от современных счётов
- 1Изменилось количество полей счётного устройства( первоначально их было 4, потом 2 с переходом на десятичную систему счисления, в настоящее время счётное поле осталось одно)
- 2Тяжёлая коробка устройства для счёта была заменена лёгкой и удобной в обращении рамкой.
- 3На спицах в рядах размещаются либо 10, либо 4 косточки( ранее могло быть 9, а также 3,2 и 1 косточка для счёта сошных дробей)
- 4В середине рядов на спицах счётного устройства появляются кости другого цвета
- 5На счётном поле устройства целую часть отделили от дробной четырьмя костяшками
- 6Дробную часть десятичных дробей можно отложить до трёх цифр после запятой (т.е. с точностью до тысячных)
Первый русский печатный учебник
В 1703г. выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика». Автор Магницкий Леонтий Филлипович. Во 2-ой части этой книги “О числах ломаных или с долями” подробно излагаетсяучение о дробях.
Оно у Магницкого носит почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице рубля, или рубля, или рубля, или две пятые части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число» [1]. Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: едина шестина, две шестины, три шестины, четыре шестины, пять шестин.
Магницкий использует название числитель, знаменатель, рассматривает неправильные дроби, смешанные числа, помимо всех действий выделяет целую часть из неправильной дроби.
Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но в то же время в любую из предшествующих эпох люди сознавали важность изучения дробей, и учителя в стихах и прозе старались приободрить своих учеников.
Оно у Магницкого носит почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач. Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице рубля, или рубля, или рубля, или две пятые части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число» [1]. Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: едина шестина, две шестины, три шестины, четыре шестины, пять шестин.
Магницкий использует название числитель, знаменатель, рассматривает неправильные дроби, смешанные числа, помимо всех действий выделяет целую часть из неправильной дроби.
Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но в то же время в любую из предшествующих эпох люди сознавали важность изучения дробей, и учителя в стихах и прозе старались приободрить своих учеников.
Но несть той арифметик,
Ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
емже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
Ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже,
Отвещати возможе.
емже о ты радеяй,
Буди в частях умеяй.
Л. Магницкий
учебник арифметики
автор: Леонтий Филлипович Магницкий
Первый русский печатный учебник
