Дроби древнего мира
Древний Египет
История происхождения
Основу математики египтян составляли аликвотные дроби. Это такие дроби, когда в числителе всегда единица. Египтянин не понимал дробь. Он представлял её в виде суммы дробей. У всех египетских дробей в числителе всегда были единицы. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода. В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер; эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра; имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д.; решение одной задачи (79-й) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.
Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Формула выглядит следующим образом:
1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)
Формула выглядит следующим образом:
1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)
Алгоритм разложения обыкновенной дроби в виде суммы аликвотных дробей с разным числом слагаемых.
1)Если числитель исходной дроби единица, то следует умножить числитель и знаменатель ее на сумму двух взаимно простых делителей знаменателя.
2)Полученную дробь заменяют суммой двух дробей, знаменатели которых равны знаменателю полученной дроби, а числители - слагаемым вышеупомянутой суммы.
3)Если знаменатель-простое число,то умножаем числитель и знаменатель на число, превышающее знаменатель на единицу
Примеры разложения дробей:
1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;
1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;
1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.
Если знаменатель исходной дроби составное число, то количество возможных вариантов замены исходной дроби суммой двух аликвотных дробей равно числу пар взаимно простых делителей знаменателя исходной дроби.
1/mn = (m+n)/mn(m+n) = m/mn(m+n)+ n/mn(m+n) = 1/n(m+n) + 1/m(m+n)
В дроби 1/25 имеются две пары взаимно простых делителей: 1 и 5, 1 и 25.
Следовательно, данная дробь может быть представлена суммой двух аликвотных дробей двумя способами .
1/25=(5+1)/25*6 = 1/30 + 1/150 1/25= (25+1)/25*26 = 1/26 + 1/650
Ответ: m =650, n=26 или m=150, n=3
Древний Вавилон
Научные гипотезы о возникновении шестидесятеричной системы счисления
Теон полагает, что число 60 было выбрано вавилонянами за основание системы счисления в силу своих арифметических свойств: оно имеет наибольшее число различных делителей среди сравнительно небольших чисел.
Тюро-Данжен предположил, что в древнейшее время вавилонская нумерация имела смешанный десятично-шестеричный характер; единицей второго разряда служила десятка; единица же третьего разряда образовалась из шести единиц второго разряда, так что роль нашей "сотни" играло число 60. Тюро-Данжен считает, что причина этого в том, что число 6, делящееся на 2 и 3, оказалось более удобным по своей арифметической структуре.
Гипотеза О. Нейгебауэра заключается в том, что после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел.
Гипотеза Веселовского связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5×12, где 5 — число пальцев на руке)
Кевич предпологает, что шестидесятеричная система возникла из смешения двух систем, существовавших прежде независимо: десятеричной и шестеричной. Одна из них, по мнению Кевича, должна быть система исчисления шумеров, другая - аккадян. Гипотеза мало обоснована фактами, оставляла открытым вопрос, какой из двух народов, шумерский или аккадский, имел первоначально шестиричную систему.
Происхождение числа 60 в качестве основания вавилонской системы счисления, а также чисел 12, 30 и 360 как узловых чисел всех календарных систем, систем измерения времени и угловых величин можно объяснить с позиций астрологических и астрономических знаний и основанных на них представлений о гармонии Вселенной. Кантор впоследствии отказался от своей гипотезы и принял гипотезу Г.Кевича
Правдоподобная гипотеза
Я считаю, что гипотеза Ивана Николаевича Веселовского о том, что шестидесятеричное числовое отображение было построено на пальцевом методе счета, наиболее правдоподобна.Эта версия получила много критики от историков, которые ссылались на то, что в то время нумерацию можно было охарактеризовать как десятичную. Однако в 1985 году французский математик Жор Ифра, в своей работе «Всеобщая история чисел» аргументирует мнение, которое было близко к гипотезе советского ученого.В докладе говорилось о том, что вавилонская система счисления получилась в результате слияния двух более древних форматов отображения чисел — пятеричного и двенадцатеричного. Это подтверждают и находки археологов, которые показывают, что в то время действительно использовались эти способы представления чисел.
Значение клинописных вавилонских таблиц
Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при раскопках в Древней Месопотамии, около 400 содержат математические сведения. Большинство из них расшифрованы и позволяют составить довольно ясное представление о поразительных алгебраических и геометрических достижениях вавилонских учёных.
Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в основном, сугубо практическим целям – измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое – «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас! В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина – «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно.
Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле – на табличках записаны только условия математических задач и их решение.
Древний Рим
Римская система дробей
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.
А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Всего применялось 18 различных названий дробей. Например, в ходу были такие названия:
“скрупулус” - 1/288 асса,
”семис”- половина асса,
“секстанс”- шестая его доля,
“семиунция”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Унция обозначалась чертой - ,половина асса (6 унций) – буквой S (первой в латинском слове Semis-половина). Эти два знака служили для записи любой двенадцатеричной дроби, каждая из которых имела свое название.
Из глубины веков
До наших дней из древних времён дошли некоторые названия дробей:
1/100 - процент;
1/1000 - промили;
1/288 - скрупулус;
1/24 - семунция;
1/8 - сескунция.
«Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это означает, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия 1/288 асса – скрупулус».
«Асс» - единица измерения массы в фармакологии (аптекарский фунт).
«Унция» - единица массы в английской системе мер, единица измерения массы в фармакологии и химии.
Древний Египет
Первое использование дробей было замечено в Древнем Египте в 1800 г. до нашей эры. Примечательно, что их система исчисления была похожа на современную десятичную систему исчисления. Однако, вместо цифр использовались рисунки, которые принято называть иероглифами.
А дробное число изображалось так: числитель представлял собой изображение рта, он всегда был равен единице. При сложении дробей знаменатели обязательно должны быть разными. Большим недостатком египетской системы исчисления было то, что на деле складывать дроби в виде рисунков довольно сложно. Чтобы облегчить себе задачу, египтяне придумали специальные таблицы для складывания дробных чисел.
В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.К сожалению, полностью отсутствуют какие бы-то ни было объяснения или доказательства решения древнеегипетских вычислений. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.
А дробное число изображалось так: числитель представлял собой изображение рта, он всегда был равен единице. При сложении дробей знаменатели обязательно должны быть разными. Большим недостатком египетской системы исчисления было то, что на деле складывать дроби в виде рисунков довольно сложно. Чтобы облегчить себе задачу, египтяне придумали специальные таблицы для складывания дробных чисел.
В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.К сожалению, полностью отсутствуют какие бы-то ни было объяснения или доказательства решения древнеегипетских вычислений. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.
Древний Вавилон
Здесь появились первые в мире систематические дроби, т.е. дроби, у которых знаменателем являются степени одного и того же числа. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. В этом недостаток и в то же время преимущество этих дробей. Эти дроби стали постоянным орудием научных вычислений греческих, а затем арабоязычных и средневековых европейских ученых вплоть до XV века, пока не уступили место десятичным дробям. Но шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов вплоть до XVII, называя их астрономическими дробями.
Шестидесятеричная система счисления предопределила большую роль в математике Вавилона различных таблиц. Полная вавилонская таблица умножения должна была бы содержать произведения от 1х1 до 59х59, то есть 1770 чисел, а не 45 как наша таблица умножения. Запомнить наизусть такую таблицу практически невозможно. Даже в записанном виде она была бы очень громоздкой. Поэтому для умножения, как и для деления, существовал обширный набор различных таблиц. Операцию деления в вавилонской математике можно назвать «проблемой номер один».
Шестидесятеричная система счисления предопределила большую роль в математике Вавилона различных таблиц. Полная вавилонская таблица умножения должна была бы содержать произведения от 1х1 до 59х59, то есть 1770 чисел, а не 45 как наша таблица умножения. Запомнить наизусть такую таблицу практически невозможно. Даже в записанном виде она была бы очень громоздкой. Поэтому для умножения, как и для деления, существовал обширный набор различных таблиц. Операцию деления в вавилонской математике можно назвать «проблемой номер один».
Древний Рим
Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Чтобы работать с такими дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
турецкая лира
Многие денежные и весовые единицы Древнего Рима оказали существенное влияние на формирование денежных систем стран Европы, Азии и Африки. Прежде всего это либра, а также солид и денарий, в меньшей степени — нуммия, фолис и ауреус.
Либра дала название французскому ливру, итальянской лире, а также современной турецкойлире.
Современные денежные единицы, чьи названия происходят от древнеримского денария, — это македонский денар, динары алжирский, бахрейнский, иорданский, иракский, кувейтский, ливийский, сербский и тунисский, а также разменный иранский динар, равный 1⁄100 риала.
Либра дала название французскому ливру, итальянской лире, а также современной турецкойлире.
Современные денежные единицы, чьи названия происходят от древнеримского денария, — это македонский денар, динары алжирский, бахрейнский, иорданский, иракский, кувейтский, ливийский, сербский и тунисский, а также разменный иранский динар, равный 1⁄100 риала.
Выводы.
Я считаю, что наиболее развитой была система счисления в древнем Вавилоне. Вавилонская математическая наука стояла выше египетской и римской, так как именно ей принадлежит одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен.В мире ломаных чисел
